August Herbst - Theodor Ziehen

Brief von Felix Hausdorff an Theodor Ziehen

Greifswald, Graben 5

27. Febr. 1917

Sehr geehrter Herr Geheimrath!

Es freut mich sehr, dass die von Ihnen wieder aufgenommenen philosophischen Forschungen Sie auch in die Nähe meiner geliebten Mengenlehre führen. Vor der Beantwortung Ihrer Fragen möchte ich nur bemerken, dass die Definition der "Folge" nicht meine Erfindung, sondern die in der Mathematik übliche ist.

Meine Erklärung, dass jeder natürlichen Zahl ein Ding entspricht, möchte ich genau in diesem Sinne festhalten. Die Theilfolge
 ap1, ap2, ..., apn, ...
ist nichtsdestoweniger wieder eine Folge: insofern nämlich jeder natürlischen Zahl n das Ding [p.2] apn zugeordnet wird (nicht, insofern gewissen natürlichen Zahlen p, nämlich für p=p1, p2, ..., das Ding ap zugeordnet wird.

Bei einer Mengenfolge ferner
 M1, M2, ... , Mn, ...
wird jeder natürlichzen Zahl n auch nur ein Ding zugeordnet, nämlich die Menge Mn; nur indireckt werden dann, wenn Mn = { an, bn, ... } aus mehreren Elementen besteht, der Zahl n mehrere Dinge an, bn, ... zugeordnet, aber diese vermittelte mehrdeutige Zuordnung ist nicht die, die mit der Mengenfolge gemeint ist. Wenn z. B. die Mengen Mn = {an, bn} sämtlich aus zwei Elementen bestehen, so ist zwischen der Mengenfolge
 M1, M2, ... , Mn, ...
und der Elementenfolge
 a1, b1, a2, b2, ..., an, bn, ...
zu unterscheiden; in der ersten wird der Zahl n das Ding Mn zugerechnet, in der zweiten [p.3] jeder ungeraden Zahl 2n-1 das Ding an, jeder geraden Zahl 2n das Ding bn, also so:
 1, 2, 3, 4, ... , 2n-1, 2n, ...
 a1, b1, a2, b2, ... , an, bn, ...
Und wieder etwas anderes ist das Paar von Folgen
 A: a1, a2, ... , an, ...
 B: b1, b2, ... , bn, ...
wobei jedem n in der Folge A das Ding an, in der Folge B das Ding bn zugeordnen wird.
Bei einer Folge von Folgen
 A, B, C, D, ...
(hier wird also der Zahl 1 die Folge A, der Zahl 2 die Folge B u. s. w. zugeordnet), die ich auf S. 18 Mitte untereinander geschrieben habe, ist natürlich die Vertauschung von Zeilen und Spalten nicht gestattet, ohne eine neue Folge
 I, II, III, IV, ...
zu bilden, wobei die Folge I die Folge a1, b1, c1, d1, ... ist, II die Folge a2, b2, c2, d2, ... usw. Von diesen beiden Folgen von Folgen ist wieder [p.4] die Elementenfolge
 a1, a2, b1, a3, b2, c1, ...
zu unterscheiden. Der Zahl 5 z. B. entspricht in der ersten Folgenfolge das Ding E (in diesem Fall wieder eine Folge), in der zweiten das Ding V (wieder eine Folge), in der Elementenfolge das Ding b2.

Vielleicht ist die dem Mathematiker geläufige Art, Mengen, Folgen, Functionen u. dgl. je nach Bedarf wieder als einfache Dinge zu betrachten und damit neue Mengen u. s. w. zu bilden, der tiefere Grund der Zweifel, die meine Darstellung Ihnen übrig gelassen hat. Hoffentlich sind diese Zeilen geeignet, jede Unklarheit zu beseitigen; aber ich bin natürlich sehr gerne bereit, Ihnen weitere Stellen meines Buches "authentisch zu interpretiren" oder sonstige Fragen zu beantworten.

 In vorzüglicher Hochachtung

Ihr sehr ergebener

F. Hausdorff

© 2006 August Herbst
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