August Herbst - Theodor Ziehen

Brief von Felix Hausdorff an Theodor Ziehen

Greifswald, Graben 5

12. Jan. 1918

Sehr geehrter Herr Geheimrath!

Für die freundliche Zusendung Ihrer Abhandlung "Das Verhältnis der Logik zur Mengenlehre" danke ich Ihnen bestens. Ich nehme an, dass es auch Ihnen erwünscht ist, wenn ich, statt mich auf eine blosse Empfangsanzeige zu beschränken, Ihnen meinen Widerspruch gegen Ihre Auffassungen nicht vorenthalte.

Gegen Ihre Abtrennung der Mengenlehre von der Logik habe ich gewiss nichts einzuwenden; Sie selbst machen der Mengenlehre daraus keinen Vorwurf und ich würde sogar einen Vorzug darin erblicken. Wann sollte die Mathematik je zu einem Anfang gelangen, wenn sie warten wollte, bis die Philosophie über unsere Grundbegriffe zur Klarheit und Einmüthigkeit gekommen ist? Unsere einzige [p.2] Rettung ist der formalistische Standpunkt, undefinirte Begriffe (wie Zahl, Punkt, Ding, Menge) an die Spitze zu stellen, um deren actuelle oder psychologische oder anschauliche Bedeutung wir uns nicht kümmern, und ebenso unbewiesene Sätze (Axiome), deren actuelle Richtigkeit uns nichts angeht. Aus diesen primitiven Begriffen und Urtheilen gewinnen wir durch Definition und Deduction andere, und nur diese Ableitung ist unser Werk und Ziel; wir sagen (wie es Russell ausdrückt): wenn A ist, so ist B, halten es aber nicht für unsere Aufgabe, zu ergründen, ob A ist. Wenn Sie also (S. 24) die Untersuchung des "Wesens" der Zahl für die Aufgabe der Logik erklären oder die Frage stellen (S. 25), was die Ordnung im allgemeinsten Sinn bedeute, so machen wir diese Forschung nach Wesen, Sinn, Bedeutung nicht mit; wir wollen z. B. gar nicht wissen, ob Ordnung räumlich, zeitlich, qualitativ gegeben oder willkürlich fixirt ist, uns interessirt nur ihr Formalismus, und es ist uns [p.3] ganz gleichgültig, ob eine Menschenmenge nach Alter oder Beruf oder alphabetisch nach dem Namen oder, noch zufälliger, nach ihren Garderobenummern im Theater geordnet wird. Wir wollen, wie Sie selbst es ausdrücken (S. 29), unter Umgehung einer Definition eine ausreichende formale Unterlage schaffen, und das Wesen des terminologisch Fixirten bleibt dabei ununtersucht und unerkannt.

Insoweit sind Sie und ich also ganz einig; nur verstehe ich nicht, wie Sie von diesem Standpunkt aus die Hauptsätze der Mengenlehre beanstanden können. Für uns ist Gleichheit der Kardinalzahlen Deutsche Fraktur: kleines a = deutsche Fraktur: kleines b per definitionem nichts anderes als Äquivalenz A∼B, also, wenn Sie wollen (S. 64), eine leere Tautologie oder, freundlicher ausgedrückt, eine bequemere façon de parler. Ihr Satz (S. 63), dass aus der Äquivalenz nicht die Gleichheit der Mächtigkeit folge, ist für uns also total unverständlich. Wir haben nicht den Ehrgeiz, das Wesen der Kardinalzahl zu ergründen und [p.4] in ihr, über die Äquivalenz hinaus, eine der Menge anhaftende Eigenschaft zu erblicken, deren Gleichheit für zwei äquivalente Mengen noch eines besonderen Beweises bedürfte; wir sind nicht in der glücklichen Lage, von den "uns wohlbekannten Kardinalzahlen" (S. 64) zu sprechen und deren Übereinstimmung oder Nichtübereinstimmung mit unseren Symbolen Deutsche Fraktur: kleines a festzustellen. Das die Menge N der natürlichen Zahlen mit der Menge P der Primzahlen äquivalent ist, drücken wir mit Deutsche Fraktur: kleines p = Deutsche Fraktur: kleines n = Alepho aus, eine andere Bedeutung hat diese Gleichung für uns nicht, und der Einwand, es brauchte nicht Deutsche Fraktur: kleines p = Deutsche Fraktur: kleines n zu sein (S. 63), weil die Mengen aus verschiedenen "Dingarten" bestehen oder nach verschiedenen "Richtungen" verlaufen, entbehrt für uns jeglichen Sinnes; dass P = N sei, behaupten ja auch wir nicht, und bei der Relation P∼N oder Deutsche Fraktur: kleines p = Deutsche Fraktur: kleines n wird eben von der individuellen oder generellen Beschaffenheit der Elemente beider Mengen abgesehen.

[p.5] Genau so steht es mit der Gleichung Aleph = 2Alepho = 10Alepho; sie sagt aus, dass die Menge der reellen Zahlen, die der dyadischen Brüche, die der dekadischen äquivalent (nicht identisch) seien, und nichts weiter als dies. Eine davon losgelöste Eigenschaft, namens Aleph, des Zahlencontinuums ist uns nicht bekannt.

Genau so steht es mit den Ordnungstypen. Das Zeichen ω für den Typus der Reihe {0, 1, 2, ...} ist nur erfunden, um die Ähnlichkeit dieser geordneten Menge mit einer andern in der bequemen Form ausdrücken zu können: beide haben des Typus ω. Die von Ihnen (S. 57) citirte Erklärung Cantors ist allerdings nicht sehr suggestiv; in den späteren Beiträgen zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (Math. Ann. 46 (1895) und 49 (1897)) ist m. E. diese Unklarheit völlig verschwunden.

Ihre Einwände scheinen mir also grösstentheils davon herzurühren, dass Sie uns [p.6] informale, auf Ergründung des "Wesens" gerichtete Tendenzen zuschreiben, die wir nicht haben. Aus diesem Grunde müssen wir auch Ihre zweite Mengendefinition (S. 44) ablehnen. Die Art des Gegebenseins einer Menge, ob mittels eines "Bildungsgesetzes" oder anders, ist für die Frage, ob sie unendlich ist, ganz belanglos; eine nach Ihrer Vorschrift bildungsgesetzlich gegebene Menge, die also "keiner ferneren Vermehrung fähig ist", kann recht wohl endlich sein, wie z. B. die Menge aller Potenzen von -1, die nur aus den beiden Zahlen +1 und -1 besteht. Da übrigens die bildungsgesetzlichen Mengen nach Ihrer eigenen Ansicht vermindert (durch "Exemptionen") und vermehrt werden können (nach anderer "Richtung"), so stellen sie eben nur einen Specialfall dar, dessen besondere Hervorhebung eigentlich gar keinen Zweck hat [p.7] wenn nicht den, die mathematische Freiheit der Begriffsbildung durch aussermathematische Normen einzuschränken.

Dieser letztgenannten Tendenz geben Sie schliesslich offenen Ausdruck, indem Sie das Kantische Argument wiederholen, dass die Vorstellung der Totalität einer unendlichen Reihe mit einem Widerspruch behaftet und daher unzulässig sei (S. 49). Worin dieser Widerspruch besteht, habe ich weder bei Kant noch anderswo je ermitteln können; ich halte das für einen jener "Machtsprüche der Philosophie", über welche die Mathematiker in diesem wie in früheren Fällen (z. B. nichteuklidische Geometrie) hinwegschreiten mussten, um ihre eigene Freiheit zu wahren, - Machtsprüche, die nie begründet, sondern immer nur mit denselben oder andern (meist denselben) Worten wiederholt werden. Aber hierüber werden wir, zumal im Rahmen eines Briefes, kaum einig werden. [p.8] Mir scheint jenes Kantische Argument, das den Begriff einer unendlichen Menge überhaupt exstirpirt und insofern alle Ihre einzelnen Einwände überflüssig machen würde, auf einer Verwechselung zwischen der logischen Freiheit und der psychologischen, praktischen, technischen Gebundenheit zu beruhen; ich weiss nicht, was mich hindert, alle ganzen Zahlen 1, 2, 3, ... uno intellectus actu zusammenzufassen, obwohl ich weiss, was mich hindert, jede einzeln auszusprechen oder niederzuschreiben.

Ich habe mir zu Ihrer Arbeit noch eine Menge Einzelheiten notirt, die meinen Widerspruch erregen, aber der Brief ist bereits so lang geworden, dass ich es bei den besprochenen Hauptpunkten bewenden lassen möchte. Sie sehen jedenfalls, dass ich Ihre Schrift mit der Gründlichkeit gelesen habe, die ich einem Gegner wie Sie schuldig zu sein glaube.

 Hochachtungsvoll

Ihr ergebener

F. Hausdorff

© 2006 August Herbst
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